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极限定义问题

发布时间:2019-09-17

所谓 an 的极限等于 a,就是 an 的值与 a 要多接近有多接近 。
要多接近有多接近,就是:任给正数 ε (ε 是恒量接近程度的,可以任意小),数列中总是从某项往后的所有项(注:不是无穷多项,这是两个不同概念)都与 a 的接近程度比 ε 还小 。
用数学符号表示就是:对任意正数 ε > 0 ,存在 N > 0 ,当 n > N 时,有 |an - a| < ε 。
注意,这个 N 可依赖于 ε ,也可不依赖于 ε 。至于 N 到底等于多少无关紧要,只要存在这样一个正数就行。因此 N 的值不唯一。比如从第 10000 项往后的所有项都满足 |an - a| < ε ,那么第 1000000后的所有项也自然满足 |an-a| < ε 。

回复:

设函数f(x),|x|大于某一正数时有定义,若存在常数A,对于任意ε>0,总存在正整数X,使得当x>X时,|f(x)-A|
比如f(x)=1/x
当x趋向于无穷时,limf(x)=0
/x/>100
x>100orx<-100
存在常数0
对于任意e>0
当x>100是,/f(x)-0/<成立,则存在极限
/1/x/<e
比如e=10^(-10)
0<1/x<10^(-10)
x>10^10
令X=10^10
存在正整数X,使得不等式成立。

回复:

一、楼主应该是还没有理解极限证明的本质究竟是什么,这无可非议。
大学教师、教授,教微积分一辈子,穿凿附会一辈子,比比皆是。
大学教材,绝大多数都是垃圾教材,学生不被误导实在太难太难。
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二、楼主的题图上的 a 是数列的极限,是指 x₁、x₂、x₃、x₄、、、、
越来越趋向于 a,无止境地趋向于 a,跟 a 的差值,越来越趋于 0。
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三、关于极限证明的方法,用最通俗的话解答如下,楼主如有任何疑问,
欢迎追问,有问必答,有疑必释,直到满意。
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总体来说:

极限的证明过程,就是
一个吵架的过程;
一个理性争辩、逻辑辩论的过程;
一个穷举法的精简过程。
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下面以最通俗的语言,讲解一下证明的逻辑过程:
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1、我说:Xn的极限就是a,可是你不信。
2、你说:Xn与 a 有差值啊。
3、我问你:差值多少你能接受?你给出一个很小的数吧。
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你给出了一个很小很小的数,譬如0.0000123。
我计算了一下,我说当N大于100时(比方),两者之差就小于0.0000123了。
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你不服,又给出一个更小的数,譬如0.0000000000456。
我又计算了一下,我说当N大于1000时(也是比方),两者之差就小于0.0000000000456了。
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你依旧不服,你又给了更小更小的数,我又算;
你再给,我再算;
你再再给,我再再算;
、、、、、、

我说,算了吧,你给一个象征性的很小很小的数的代号,
我算一个用你的代号表示的公式给你,你自己计算,自己验证吧。
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你给的这个数就是ε,我就给你一个公式,算出了N,从N后面起,差值就小于 ε。
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说到这里,你明白极限证明的论证过程了吗?
这个过程,是无穷列举理论化的过程;
这个过程,强调的是趋势,是无休止的趋势,是无止境的趋势,英文是tendency。
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“任给”二字,体现的是 ε 可以无限地更改,无限的反悔;
根据 ε 算出来的 N,只是一个具体的数,N 之后的任何数,都可以作为 N;
这就是放大缩小的理论依据,只要能确定一个 N,从 这个 N 之后的任何数
都是 n。
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【请记住】:
N、n 都仅仅只是项数!是 number of terms !
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如果明白了,那就恭喜你!你已经掌握极限证明的真谛了!可喜可贺!
如果不明白,那也恭喜你!你终于体察出我们落后的原因!可喜可贺!
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我们祖先,不落后人,他们也有悖论,也有极限思维。
我们后人,没有超越,我们没有开拓,落后始于极限。
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如有疑问,欢迎追问,有问必答。

回复:

这涉及对函数极限概念的理解。用ε-δ语言表述的函数极限定义为: 如果对任意的ε>0,存在δ>0,当0

回复:

因为第1里,xn-a没加绝对值,所以错误;而第三加了绝对值,改正了这个错误

回复:

考虑极限存在的话有下面几种情形 1. 数列 Xn→a, n→∞:对于任意的h>0,存在正整数N,当n>N时有|Xn-a|0,存在d>0,当00,当00,存在d>0,当00,存在X>0,当|x|>X时,有|f(x)-A|0,存在X>0,当x>X时,有|f(x)-A|0,存在X>0,当x

回复:

所谓 an 的极限等于 a,就是 an 的值与 a 要多接近有多接近 。 要多接近有多接近,就是:任给正数 ε (ε 是恒量接近程度的,可以任意小),数列中总是从某项往后的所有项(注:不是无穷多项,这是两个不同概念)都与 a 的接近程度比 ε 还小 。 ...

回复:

你这是数列的极限定义吧,数列的极限只在意其当N趋向于无穷大时数列的趋势,而与前面的数值都无关,所以只要给出一个任意小值就可找出一个N使数列间的差值大于这个N时小于那个任意小值,也就是说数列间差值可任意小.这样定义就给出了数列极限的本质,...

回复:

真的看不清楚。

回复:

供参考。

回复:

极限的定义重要性分两个方面讲: 首先,极限定义是理解数学分析的一个支点,是非常重要的,关键是他帮助理解的作用。 其次,极限定义是基础性的东西,在考研中直接考的概率不大。但是用到或者相关的题目始终是绕不开的。

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